Question

如圖：正方形ABCD的兩頂點C、D在圓O上，CE是圓O的直徑，AE⊥平面CDE，且AE=3，CE=9．
（I）設點B在平面CDE上的射影為F，求證：點F在圓O上；
（II）求二面角D-BC-E的大小；
（III）求點C到平面BDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接DE，過C作CF∥DE，交圓O于F，連接EF，BF．四邊形CDEF為圓內接矩形，證出CD∥EF，CD=EF，又ABCD是正方形ABCD可以證出四邊形ABEF為平行四邊形．得出AE∥BF，由于AE⊥平面CDE，所以BF⊥平面CDE，F為點B在平面CDE上的射影
（II）過點E作EF⊥AD于點F，作FG∥AB交BC于點G，連接GE，根據二面角平面角的定義可知∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，在Rt△EFG中，求出此角的正切值即可．
（III）利用等體積法V _C-BDE=V _B-CDE，求解．
解答：（I）證明：連接DE，過C作CF∥DE，交圓O于F，連接EF，BF．
則四邊形CDEF為圓內接矩形．
∴CD∥EF，CD=EF，又ABCD是正方形ABCD，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，EF=AB，
∴四邊形ABEF為平行四邊形．∴AE∥BF
∵AE⊥平面CDE，
∴BF⊥平面CDE，F為點B在平面CDE上的射影，點F在圓O上
（II）解：CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE．
∴CE為圓O的直徑，即CE=9．
設正方形ABCD的邊長為a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得，．
∴．
過點E作EF⊥AD于點F，作FG∥AB交BC于點G，連接GE，
由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵BC?平面ABCD，
∴BC⊥EF．
∵BC⊥FG，EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG．
∵EG?平面EFG，
∴BC⊥EG．
∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角．
在Rt△ADE中，，AE=3，DE=6，
∵AD•EF=AE•DE，
∴．
在Rt△EFG中，，
∴．
故二面角D-BC-E的平面角的正切值為．
（III）解：

在RT△BEF中，BE==，S _RT△BDE=×6×=9
S _RT△CDE=××6=
設求點C到平面BDE的距離為h，
由于V _C-BDE=V _B-CDE，即S _RT△CDE×BF=S _RT△BDE×h，
××3=×9×h，
所以h=
點評：本題考查直線和平面位置關系，二面角求解，點面距離．考查空間想象能力、推理、計算能力．