Question

試求使不等式對一切正整數n都成立的最小自然數t的值，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：設，確定函數的單調性，求出最小值，即可得到最小自然數t的值，在用數學歸納法加以證明．
解答：解：設
∵===
∴f（n）遞增，∴f（n）最小為
∵f（n）＞5-2t對一切正整數n都成立，∴，∴自然數t≥2
∴自然數t的最小值為2                 …（7分）
下面用數學歸納法證明
（1）當n=1時，左邊=，∴n=1時成立
（2）假設當n=k時成立，即
那么當n=k+1時，左邊===
∴n=k+1時也成立
根據（1）（2）可知成立 …（14分）
注：第（1）小題也可歸納猜想得出自然數t的最小值為2
點評：本題考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．