Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，二面角的大小為，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題意證明平面，從而證得平面平面；

（2）求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由此利用向量法能求出cosθ．

（1）證明：∵，∴，，

∵，∴，

又∵，且平面，平面，

∴平面，又平面，

∴平面平面；

（2）∵，，∴四邊形為平行四邊形，

由（1）知平面，∴，則四邊形為矩形，

在中，由，，

可得為等腰直角三角形，

設，則.

取中點，中點，連接、，

以為坐標原點，分別以、、所以直線為、、軸建立空間直角坐標系，則：

，，，.

，，.

設平面的一個法向量為，

由，得，

取，得.

∵平面，平面，∴，

又，，

∴平面，則為平面的一個法向量，.

∴.

由圖可知，二面角為鈍角，

∴二面的余弦值為.