Question

對于直角坐標平面內的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，則||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命題的個數為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，
對于①若點C在線段AB上，設C點坐標為（x，y）然后代入驗證顯然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正確．
對于②在△ABC中，若∠C=90°，則||AC||²+||CB||²=||AB||²；是幾何距離而非題目定義的距離，明顯不成立，
對于③在△ABC中，用坐標表示||AC||+||CB||然后根據絕對值不等式可得到大于||AB||．成立，故可得到答案．
解答：解：對于直角坐標平面內的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
對于①若點C在線段AB上，設C點坐標為（x，y），x在x₁、x₂之間，y在y₁、y₂之間，
則||AC||+||CB||=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||．成立故正確．
對于②在△ABC中，若∠C=90°，則||AC||²+||CB||²=||AB||²；是幾何距離而非題目定義的距離，明顯不成立，
對于③在△ABC中，||AC||+||CB||=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||．③不正確．
∴命題①成立，
故選B．
點評：此題主要考查新定義的問題，對于此類型的題目需要認真分析題目的定義再求解，切記不可脫離題目要求．屬于中檔題目．