Question

已知函數f（x）=x^a（0＜a＜1）對于下列命題：
①若x＞1，則f（x）＞1；
②若0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
③若f（x₁）＞f（x₂）則x₁＞x₂；
④若0＜x₁＜x₂，則x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
⑤若0＜x₁＜x₂，則

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．
其中正確的命題序號是

①③⑤

．

Answer 1

分析：利用函數f（x）=x^a（0＜a＜1）的單調性對①②③可作出判斷，命題④，函數

f(x)

x

=

xa

x

=x^a-1，a-1＜0，函數單調遞減，從而可判斷④，命題⑤，函數是凸函數，因此中點的函數值，比兩端點的函數和的一半要大，從而得到答案．

解答：解：由冪函數的定義和性質可以知道
當f（x）=x^a（0＜a＜1）時，則在第一象限單調遞增，所以
命題①，x＞1，則f（x）＞1成立；
命題②，根據單調增函數的定義，對應的自變量大，函數值大，
因此0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）＞0，成立，原命題錯誤；
命題③，根據單調增函數的定義，函數值大，對應的自變量也大．因此正確；
命題④，函數

f(x)

x

=

xa

x

=x^a-1，a-1＜0，函數單調遞減，故原命題不成立．
命題⑤，函數是凸函數，因此中點的函數值，比兩端點的函數和的一半要大，故原命題成立．
故答案為：①③⑤

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查冪函數的單調性，屬于中檔題．