Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-a）在[-1，+∞）的最小值為g（a），
（1）求g（a）的解析式
（2）是否存在非零實(shí)數(shù)k，b，使得有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)t，滿足等式g（t）-kt-b=0（k≠0），若存在求實(shí)數(shù)k，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=|x|（x-a）=

x2-ax        x≥0 -x2+ax      x＜0

，分類結(jié)合圖象可得；
（2）作出g（t）的圖象，可得當(dāng)y=kt+b與第二段解析式對(duì)應(yīng)的直線重合時(shí)，符合題意．

解答：解：（1）f（x）=|x|（x-a）=

x2-ax        x≥0 -x2+ax      x＜0

，

①當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）的圖象如圖所示，故g（a）=0，
②當(dāng)-1＜a≤-0時(shí)，f（x）的圖象如圖2所示，故g（a）=f（-1）=0，
③當(dāng)a＞0時(shí)，如第三個(gè)圖，由f（

a

2

）-f（-1）=-

a2

4

+a+1≥0，得a≤2+2

2

，
故當(dāng)0＜a＜2+2

2

時(shí)，g（a）=f（-1）=-1-a，當(dāng)a≥2+2

2

時(shí)，g（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

，
綜上可得g（a）=

0               a≤-1 -1-a      -1＜a＜2+2 2 - a2 4          a≥2+2 2

；
（2）由（1）可得g（t）=

0               t≤-1 -1-t      -1＜t＜2+2 2 - t2 4          t≥2+2 2

，作其圖象如下：

故當(dāng)k=-1，b=-1時(shí)，有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)t，滿足等式g（t）-kt-b=0（k≠0），
此時(shí)與第二段解析式對(duì)應(yīng)的直線重合．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，屬中檔題．