Question

（理）設a＞0，a≠1為常數，函數f(x)=loga

x-5

x+5

（1）討論函數f（x）在區間（-∞，-5）內的單調性，并給予證明；
（2）設g（x）=1+log_a（x-3），如果方程f（x）=g（x）有實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將對數的真數當成一個函數，可以用定義證明它在區間（-∞，-5）內的單調性，再討論底數a與1的大小關系得到相應的情況下真數的大小關系，即可得函數f（x）在區間（-∞，-5）內的單調性；
（2）化函數g（x）=1+log_a（x-3））為g（x）=log_aa（x-3），方程f（x）=g（x）即為它們的真數都大于零且相等，采用變量分離的方法，轉化為求函數F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在區間（5，+∞）上的值域，實數a的取值范圍就應該屬于這個值域．

解答：解：（1）設t=

x-5

x+5

，任取x₂＜x₁＜-5，則
t₂-t₁=

x2-5

x2+5

-

x1-5

x1+5

=

(x1+5)(x2-5)-(x2+5)(x1-5)

(x2+5)(x1+5)

=

10( x2-x1)

(x2+5)(x1+5)

．
∵x₁＜-5，x₂＜-5，x₂＜x₁，
∴x₁+5＜0，x₂+5＜0，x₂-x₁＜0．
∴

10(x2-x1)

(x2+5)(x1+5)

＜0，即t₂＜t₁．
當a＞1時，y=log_ax是增函數，∴log_at₂＜log_at₁，即f（x₂）＜f（x₁）；
當0＜a＜1時，y=log_ax是減函數，∴log_at₂＞log_at₁，即f（x₂）＞f（x₁）．
綜上可知，當a＞1時，f（x）在區間（-∞，-5）為增函數；
當0＜a＜1時，f（x）在區間（-∞，-5）為減函數．
（2）g（x）=1+log_a（x-3）=log_aa（x-3），
方程f（x）=g（x）等價于：

a(x-3)= x-5 x+5 x＞3 x＜-5或x＞5

即方程a=

x-5

(x+5)(x-3)

在區間（5，+∞）上有解，
∵[

x-5

(x+5)(x-3)

] /=

-x2+10x-5

(x+5) 2(x-3)  2

=

-[x-(5-2 5 )][x-(5+2 5 )]

(x+5)(x-3)

∴函數F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在區間（5，5+2

5

）上導數大于零，在區間（5+2

5

，+∞）導數小于零
可得F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在區間（5，5+2

5

）上單調增，在區間（5+2

5

，+∞）單調減
∴F（x）的最大值為F（5+2

5

）=

3- 5

16

，而F（x）的最小值大于F（5）=0
要使方程方程a=

x-5

(x+5)(x-3)

在區間（5，+∞）上有解，必須a∈（0，

3- 5

16

]
所以a的取值范圍是：（0，

3- 5

16

]

點評：本題著重考查了函數單調性的判斷與證明、根的存在性及根的個數判斷等知識點，在解題時應該注意分類討論與數形結合等數學思想的應用．