Question

已知數列{a_n}滿足條件: a₁=1,a₂=r(r＞0),且{a_na_n+1}是公比為q(q＞0)的等比數列，設b_n=a_2n－1+a_2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3(n∈N^*)成立的q的取值范圍；
(2)求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；
(3)設r=2^19.2－1，q=，求數列{}的最大項和最小項的值.

Answer 1

(1) 0＜q＜; (2) (3) {C_n}的最大項C₂₁=2.25，最小項C₂₀=－4

(1)由題意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.
由題設r＞0,q＞0,故從上式可得 q²－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;
(2)∵.
b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首項為1+r，公比為q的等比數列，從而b_n=(1+r)q^n-1. 
當q=1時，S_n=n(1+r),

 



,從上式可知，
當n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)時，C_n隨n的增大而減小，
故1＜C_n≤C₂₁=1+=2.25                  ①
當n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)時，C_n也隨n的增大而減小，
故1＞C_n≥C₂₀=1+=－4                    ②
綜合①②兩式知，對任意的自然數n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,
故{C_n}的最大項C₂₁=2.25，最小項C₂₀=－4。