Question

設{a}是正數數列，其前n項和S_n滿足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求數列{a_n}的通項公式；
（2）對于數列{b_n}，令b_n=，T_n是數列{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件得a₁=3，，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）知S_n=n（n+2），所以，再用裂項求和法求出數列{b_n}的前n項和T_n，由此能求出T_n．
解答：解：（1）由a₁=S₁=，及a_n＞0，得a₁=3
由得．
∴當n≥2時，
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，∴a_n=2n+1
（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴，
T_n=b₁+b₂+…+b_n

==
∴
由，得
得，得
∴
因而n滿足的最小整數（14分）
點評：本題考查數列的極限和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和的靈活運用．