Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，E、F分別是AB、PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是線段AD的中點，則當PB與面ABCD所成角的正切值為何值時，GF⊥平面PCB，并證明你的結論．

Answer 1

分析：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐標
（Ⅰ）通過

EF

•

DC

=0，證明EF⊥CD．
（Ⅱ）取PC中點K，AD的中點Q，連DK，FK，QF，證明DK⊥面PBC，結合QF∥DK，說明QF⊥面PBC．求出PD=DC，然后求解PB與面ABCD所成角的正切值．

解答：解：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖）．
設AD=a，則D（0，0，0）
A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
E（a，

a

2

，0），P（0，0，z），F（

a

2

，

a

2

，

z

2

）．
（Ⅰ）證明：∵

EF

•

DC

=（-

a

2

，0，

z

2

）•（0，a，0）=0，
∴

EF

⊥

DC

，∴EF⊥CD．
（Ⅱ）當Q是AD中點時，有QF⊥面PBC．
取PC中點K，連DK，FK，則DK⊥面PBC．
又FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC．
∴DK⊥PC，∵K是PC的中點，所以PD=DC，
底面ABCD為正方形，所以DB=

2

PD
PB與面ABCD所成角的正切值為：

PD

DB

=

2

2

．

點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，證明直線與直線的垂直，直線與平面所成的角，考查計算能力．