Question

過雙曲線

x2

2

-y2=1的右焦點，且傾斜角為45°的直線交雙曲線于點A、B，則|AB|=

4

2

．

Answer 1

分析：由題意可得右焦點坐標，由直線的傾斜角可得斜率，進而可得直線的方程，與曲線方程聯立消y可得關于x的方程，由根與系數關系可得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=8，代入弦長公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

化簡可得答案．

解答：解：∵雙曲線的方程為：

x2

2

-y2=1，
∴a=

2

，b=1，c=

a2+b2

=

3

，
故雙曲線的右焦點坐標為（

3

，0）
故直線AB的方程為y=x-

3

，與

x2

2

-y2=1聯立，
消掉y并整理可得x2-4

3

x+8=0，（*）
顯然△=(-4

3

)2-4×1×8=16＞0，
故方程（*）有兩個不等實根x₁，x₂，
由根與系數關系可得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=8，
故|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4 3 )2-4×8]

=4

2

故答案為：4

2

點評：本題考查雙曲線的性質，涉及弦長公式的應用，屬中檔題．