Question

某公司利用A、B兩種原料生產甲、乙兩種產品，每生產1噸產品所需要的原料及利潤如下表所示：

	A種原料（單位：噸）	B種原料（單位：噸）	利潤（單位：萬元）
甲種產品	1	2	3
乙種產品	2	1	4

公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每種產品每天消耗A、B原料都不超過12噸．求每天生產甲、乙兩種產品各多少噸，使公司獲得總利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：根據題設中的條件可設生產x噸甲種產品，y噸乙種產品，總利潤為Z（萬元），根據題設條件得出線性約束條件以及目標函數求出利潤的最大值即可．

解答：解：設生產x噸甲種產品，y噸乙種產品，總利潤為Z（萬元），
則約束條件為

x+2y≤12 2x+y≤12 x＞0 y＞0

，…（4分）
目標函數為Z=3x+4y，…（5分）
可行域為下圖中的陰影部分：

…（9分）
化目標函數為斜截式方程：y=-

3

4

x+

1

4

z
當目標函數直線經過圖中的點M時，Z有最大值，…（10分）
聯立方程組

x+2y=12 2x+y=12

，
解得

x=4 y=4

，所以M（4，4），…（12分）
將

x=4 y=4

代入目標函數得Z_Max=3×4+4×4=28（萬元）．
答：公司每天生產甲、乙兩種產品都是4噸時，公司可獲得最大利潤，最大利潤為28萬元．
…（14分）

點評：本題考查用線性規劃知識求利潤的最大值，這是簡單線性規劃的一個重要運用，解題的關鍵是準確求出目標函數及約束條件．