Question

設命題P：x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1，1]恒成立，命題Q：不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，若P且Q為真，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：由方程的根與系數關系可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，而|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2- 4x1x2

代入結合a得范圍可求|x₁-x₂|的最大值，結合已知可得|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-1，1]成立即可，從而可求P對應的m得范圍；再由不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，則只要f（x）_max＞1，從而可求Q所對應的m的范圍，由P且Q為真可知P，Q都為真命題，即可求

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2- 4x1x2

=

a2+8

當a∈[-1，1]時，

a2+8

∈[2

2

，3]
∵不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1，1]恒成立
則只要|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-1，1]成立即可
∴|m²-5m-3|≥3
∴m²-5m-3≥3或m²-5m-3≤-3
即m²-5m-6≥0或m²-5m≤0
解不等式可m²-5m-6≥0得，m≥6或m≤-1
解不等式m²-5m≤0得，0≤m≤5
綜上可得，P：m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∵不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解
令f（x）=|x-2m|-|x|=

2m，x≤0 -2x+2m，0＜x＜m -2m，x≥2m

，
結合該函數的性質可知，函數的最大值為2m，最小值為-2m
若使得不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，則只要f（x）_max＞1即2m＞1即可
Q：m＞

1

2

∵P且Q為真
∴P，Q都為真命題
∴

m＞ 1 2 m≥6或m≤-1或0≤m≤5

∴m≥6或

1

2

＜m≤5

點評：本題目主要考查了復合命題的真假判斷的應用，解題得關鍵是熟練應用函數的知識準確求出命題P，Q為真時的m的取值范圍．