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如圖,橢圓=1(a>b>0)與過點(diǎn)A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),求證:

【答案】分析:(Ⅰ)先寫出過A、B的直線方程,因為由題意得有惟一解.消去y得:有惟一解,
利用其根的判別式等于0,即可求得a,b的值,從而得到橢圓方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以解得x1=x2=1,接下來利用距離公式求得線段的長,從而證得
解答:解:(Ⅰ)過A、B的直線方程為
因為由題意得有惟一解.
有惟一解,
所以△=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0),,
故(a2+4b2-4)=0
又因為,即
所以a2=4b2
從而得
故所求的橢圓方程為
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以
解得x1=x2=1,,
因此
從而
因為
所以
點(diǎn)評:本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程、橢圓方程等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、方程思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,橢圓=1(a>b>0)與過A(2,0),B(0,1)的直線有且只有一個公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),M為線段AF2的中點(diǎn),求tan∠ATM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年陜西省延安市實(shí)驗中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓=1(a>b>0)與過點(diǎn)A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),M為線段AF1的中點(diǎn),求證:∠ATM=∠AF1T.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省南充市高考數(shù)學(xué)零診試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓=1(a>b>0)與過點(diǎn)A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),M為線段AF1的中點(diǎn),求證:∠ATM=∠AF1T.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓=1(a>b>0)與過點(diǎn)A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),M為線段AF1的中點(diǎn),求證:∠ATM=∠AF1T.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年天津市濱海新區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓=1(a>b>0)與一等軸雙曲線相交,M是其中一個交點(diǎn),并且雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)A1,A2,△MF1F2的周長為4(+1).設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

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