Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，邊長為1，E為CC₁上一點，且EC=

2

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（1）證明：B₁D₁∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C大小；
（3）證明：平面ACC₁A₁⊥平面BDE．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用正方體的性質，得到線線平行，進一步利用線面平行的判定定理證得結果．
（2）利用線面垂直與線線垂直的轉化首先做出二面角的平面角，進一步求出二面角的大小．
（3）利用線線垂直，得到線面垂直，進一步轉化為面面垂直．

解答： （1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，DD₁∥BB₁且DD₁=BB₁
則：四邊形DD₁B₁B是平行四邊形．
BD∥B₁D₁
B₁D₁?平面BDE，BD?平面BDE，
所以：B₁D₁∥平面BDE．
（2）連接AC和BD交于點O，連接OE，
所以：AC⊥DB，
又EC⊥平面ABCD，DB?平面ABCD
所以：BD⊥平面COE
則：OE⊥BD
則：∠EOC是二面角E-BD-C的平面角．
由于正方體的邊長為1，EC=

2

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，
解得：OC=

1

2

AC=

2

2

則：tan∠EOC=1
則：∠EOC=45°
即二面角E-BD-C大小為45°．
（3）在正方體中，A₁A⊥平面ABCD，AC⊥BD，
則：BD⊥平面A₁ACC₁
BD?平面BDE
所以：平面ACC₁A₁⊥平面BDE．

點評：本題考查的知識要點：正方體的性質，線面平行的判定定理，線面垂直與面面垂直之間的轉化，二面角的應用及相關的運算問題，屬于基礎題型．