Question

【題目】設(shè)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，且．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)有正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的值；

（3）設(shè)，對于給定的，求三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件為

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件建立方程組，運用等比數(shù)列的性質(zhì)求出求出等比，求得通項公式；（2）依據(jù)題設(shè)成等差數(shù)列，建立方程，得到，也即．由此推知中有且只有一個等于1，借助正整數(shù)滿足，從而推知，求出．

（3）按照題設(shè)要求將條件“經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”分為三類進(jìn)行分析推證：

解：（1）因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以設(shè)數(shù)列的公比為，且．

又，且，所以．

又因為，所以，解得，所以．

（2）因為成等差數(shù)列，所以，即．

所以， ．

故中有且只有一個等于1．

因為正整數(shù)滿足，所以，得．

（3）設(shè)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列．

①若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)．

因為正整數(shù)滿足，當(dāng)且僅當(dāng)，且，

所以， ．當(dāng)且僅當(dāng)，即．

②若，則，所以（*）．

因為，

所以與都為偶數(shù)，而5是奇數(shù)，所以，等式（*）不成立，

從而等式不成立，

③若，則同②可知，該等式也不成立．

綜合①②③，得．

設(shè)，則為，即．

調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列．

綜上所述， 經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件為．