Question

【題目】已知實數x、y滿足 ，目標函數z=x+ay．
（1）當a=﹣2時，求目標函數z的取值范圍；
（2）若使目標函數取得最小值的最優解有無數個，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣2時，z=x﹣2y，由z=x﹣2y得y= ，

作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分ABC）：

平移直線y= ，

由圖象可知當直線y= ，過點C時，直線y= 的截距最大，此時z最小，

由 ，解得 ，即C（4，2）．此時z=4﹣2×2=4﹣4=0，

當直線與x﹣2y﹣2=0重合時，直線y= 的截距最小，此時z最大，

此時z=2，即0≤z≤2

（2）解：若a＞0，由題意知最優解應該在線段BC上取得，但此時取到的最大值不滿足條件．

當a=0，不滿足條件．

若a＜0，最優解應該在線段AC上取得，故直線x+ay=0與AC平行，

則kAC=1=﹣ ，得a=﹣1．

= 的幾何意義是區域內的點到點D（﹣1，0）的斜率，

由圖象知當點與C（4，2）重合時， 取得最大值 ．

【解析】（1）當a=﹣2時，z=x﹣2y，由z=x﹣2y得y= ，平移直線進行求解即可．（2）根據目標函數取得最小值的最優解有無數個，求出a=﹣1，利用直線斜率的幾何意義進行求解即可．