Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（n∈N^*）．
（1）求a₁的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：+++…+＜（n∈N^*）；
（3）是否存在非零整數λ，使不等式λ（1-）（1-）…（1-）cos＜對一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用當n=1時，，求a₁的值，根據當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）證法一、二：先放縮，再裂項求和，即可證得結論；
（3）求出數列{b_n}的通項，證明其單調遞增，假設存在這樣的實數λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n對一切n∈N^*都成立，分類討論求最值，即可求出λ的值．
解答：（1）解：由．
當n=1時，，解得a₁=2或a₁=0（舍去）． …2分
當n≥2時，由
∴，
∵a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，則a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，故a_n=2n． …4分
（2）證法一：∵=，…4分
∴當n≥2時，=．…7分
當n=1時，不等式左邊=顯然成立．…8分
證法二：∵n³-4n（n-1）=n（n²-4n+4）=n（n-2）²≥0，∴n³≥4n（n-1）．
∴（n≥2）．…4分
∴當n≥2時，．…7分
當n=1時，不等式左邊=顯然成立．…8分
（3）解：由a_n=2n，得，
設，則不等式等價于.=，…9分
∵b_n＞0，∴b_n+1＞b_n，數列{b_n}單調遞增．…10分
假設存在這樣的實數λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n對一切n∈N^*都成立，則
①當n為奇數時，得； …11分
②當n為偶數時，得，即．…12分
綜上，，由λ是非零整數，知存在λ=±1滿足條件．…14分
點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列與不等式的聯系，考查恒成立問題，確定數列的通項，正確放縮，合理運用求和公式是關鍵．