Question

已知tan(α+β)=

2

5

，tan(β-

π

4

)=

1

4

，則

cosα+sinα

cosα-sinα

的值為

3

22

．

Answer 1

分析：由α+

π

4

=（α+β）-（β-

π

4

），兩邊分別利用兩角和與差的正切函數公式化簡，把已知的tan（α+β）及tan（β-

π

4

）的值代入，可求出tan[（α+β）-（β-

π

4

）]的值，即為tan（α+

π

4

）=

tanα+1

1-tanα

的值，最后把所求式子的分子分母同時除以cosα，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將

tanα+1

1-tanα

整體代入即可求出值．

解答：解：∵tan(α+β)=

2

5

，tan(β-

π

4

)=

1

4

，
∴tan（α+

π

4

）=tan[（α+β）-（β-

π

4

）]
而tan（α+

π

4

）═

tanα+1

1-tanα

，tan[（α+β）-（β-

π

4

）]=

2 5 - 1 4

1+ 2 5 × 1 4

=

3

22

，
即

tanα+1

1-tanα

=

3

22

，
則

cosα+sinα

cosα-sinα

=

tanα+1

1-tanα

=

3

22

．
故答案為：

3

22

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式，靈活變換角度是解本題的關鍵．