Question

已知函數f（x）=x²-2x-8，g（x）=2x²-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接因式分解后求解不等式的解集；
（2）把函數f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x-m-15，分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍．

解答：解：由g（x）=2x²-4x-16＜0，得x²-2x-8＜0，
即（x+2）（x-4）＜0，解得-2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集為{x|-2＜x＜4}；
（2）因為f（x）=x²-2x-8，
當x＞2時，f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
則x²-2x-8≥（m+2）x-m-15成立，
即x²-4x+7≥m（x-1）．
所以對一切x＞2，均有不等式

x2-4x+7

x-1

≥m成立．
而

x2-4x+7

x-1

=(x-1)+

4

x-1

-2≥2

(x-1)× 4 x-1

-2=2（當x=3時等號成立）．
所以實數m的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用基本不等式求函數的最值，是基礎題．