Question

已知函數f（x）=cosx+cos（x+

π

2

），x∈R，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的單調增區間；（Ⅲ）若f（a）=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：可先用誘導公式將函數化為f（x）=cosx-sinx，再將函數化為f（x）=

2

cos（x+

π

4

）．根據余弦函數的性質，來求最小正周期和單調增區間．至于sin2α的值，可利用二倍角公式來求解．

解答：解：因為f（x）=cosx+cos（x+

π

2

）=cosx-sinx=

2

（

2

2

cosx-

2

2

sinx）=

2

cos（x+

π

4

）
    所以：
    （1）f（x）的最小正周期為T=

2π

1

=2π；
    （2）由π+2kπ≤x+

π

4

≤2π+2kπ，k∈Z得
      

3π

4

+2kπ≤x≤

7π

4

+2kπ，k∈Z
      故f（x）的單調增區間為[

3π

4

+2kπ，

7π

4

+2kπ]，k∈Z
     （3）∵f（a）=

3

4

，即cosα-sinα=

3

4

∴1-2sinαcosα=

9

16

∴sin2α=

7

16

點評：這類問題作為三角函數的基礎問題，我們先用三角恒等變換變換將函數化為y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）或y=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的形式，然后根據正弦函數或余弦函數的性質來求解．三角恒等變換，一定要熟練掌握．