Question

設二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函數f（x）的圖象與直線y=x只有一個公共點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式時恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件①得對稱軸方程求得b=2a；再利用條件②求出b和a之間的另一關系式，聯立即可求 f（x）的解析式；
（2）先利用π＞1把原不等式轉化為+x＞tx-2在t∈[-2，2]時恒成立，再把問題轉化為一次函數的恒成立問題即可求實數x的取值范圍．
解答：解：（1）∵由①f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函數f（x）的圖象與直線y=只有一個公共點，
∴有且只有一解，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相同的實根；
故△=（b-1）²=0⇒b=1，a=，
所以f（x）=+x．
（2）∵π＞1∴?f（x）＞tx-2．
因為+x＞tx-2在t∈[-2，2]時恒成立等價于
函數g（t）=xt-（x²+x+2）＜0，t∈[-2，2]時恒成立；
∴⇒⇒x＜-3-，x＞-3+
故實數x的取值范圍是（-∞，-3-）∪（-3+，+∞）．
點評：本題考查了二次函數解析式的求法以及函數恒成立問題．二次函數解析式的確定，應視具體問題，靈活的選用其形式，再根據題設條件列方程組，即運用待定系數法來求解．在具體問題中，常常會與圖象的平移，對稱，函數的周期性，奇偶性等知識有機的結合在一起．