Question

7．已知直線ax-by+8=0（a＞0，b＞0）經過x²+y²+4x-4y=0的圓心，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為1．

Answer 1

分析 由直線ax-by+8=0（a＞0，b＞0）經過x²+y²+4x-4y=0的圓心，可得a+b=4，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$），再用基本不等式求最小值．

解答 解：∵圓x²+y²+4x-4y=0的圓心坐標是（-2，2），
直線ax-by+8=0過圓心，∴a+b=4，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）≥1，
當b=a=2時取等號．
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為1，
故答案為1．

點評 本題考查了基本不等式的應用，考查了圓的一般式方程，解題的關鍵是得出a+b=4．