Question

數列{a_n}中，a_n=|n-k|+|n+2k|，若對任意的正整數n，a_n≥a₃=a₄都成立，則k的取值范圍為

2≤k≤3

．

Answer 1

分析：由絕對值不等式的性質可知：a_n=|n-k|+|n-2k|=|n-k|+|2k-n|≥|n-k+2k-n|=|k|，當且僅當（n-k）（2k-n）≥0時，即當且僅當k≤n≤2k時，a_n取得最小值．又根據an≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄為最小值，從而可求k的取值范圍．

解答：解：a_n=|n-k|+|n-2k|=|n-k|+|2k-n|≥|n-k+2k-n|=|k|，
當且僅當（n-k）（2k-n）≥0時，即當且僅當k≤n≤2k時，a_n取得最小值．
又因為an≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄為最小值，即k≤3≤2k，且k≤4≤2k，解得，2≤k≤3．
故答案為2≤k≤3．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查絕對值不等式的性質，屬于基礎題．