Question

已知函數f（x）對任意實數x均有f（x）=kf（x+2），其中常數k為負數，且f（x）在區間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）寫出f（x）在[-3，3]上的表達式，并討論函數f（x）在[-3，3]上的單調性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值和最大值，并求出相應的自變量的取值．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=

1

k

f（0.5）=

1

k

 （0.5-2）•0.5．
（2）有條件可得f（x）=

1

k

f（x-2），當-2≤x＜0時，-3≤x＜-2時，分別求出f（x）的解析式，
從而得到f（x）在[-3，3]上的表達式，通過表達式研究單調性．
（3）由（2）中函數f（x）在[-3，3]上的單調性可知，在x=-3或x=1處取最小值，在x=-1或x=3處取最大值．

解答：解：（1）由題意可得  f（-1）=kf（1）=-k，∵f（0.5）=k f（2.5），
∴f（2.5）=

1

k

f(0.5)=

1

k

(0.5-2)×0.5=-

3

4k

．
（2）對任意實數x，f（x）=kf（x+2），∴f（x-2）=kf（x），∴f（x）=

1

k

f（x-2）．
當-2≤x＜0時，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當-3≤x＜-2時，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）．
當2≤x≤3 時，0≤x-2≤1，f（x-2）=kf（x）=（x-2）（x-4），故f（x）=

1

k

（x-2）（x-4）．
綜上可得，f（x）=

k2(x+2)(x+4)，-3≤x＜-2 kx(x+2)，-2≤x＜0 x(x-2)，0≤x＜2 1 k (x-2)(x-4)，2≤x≤3

∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]與[1，3]上為增函數，在[-1，1]上為減函數．
（3）由（2）中函數f（x）在[-3，3]上的單調性可知，
f（x）在x=-3或x=1處取最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3處取最大值f（-1）=-k或f（3）=-

1

k

，
故有：
①k＜-1時，f（x）在x=-3處取最小值f（-3）=-k²，在x=-1處取最大值f（-1）=-k；
②k=-1時，f（x）在x=-3與x=1處取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1與x=3處取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0時，f（x）在x=1處取最小值f（1）=-1，在x=3處取最大值f（3）=-

1

k

．

點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值問題，體現了換元的思想、分類討論的數學思想，求f（x）在[-3，3]上的表達式是本題的難點和易錯點．