Question

函數f（x）=|x-3|-|x+1|的（　�。�

A．最小值是0，最大值是4

B．最小值是-4，最大值是0

C．最小值是-4，最大值是4

D．最小值，最大值不存在

Answer 1

分析：通過對x＜-1，當-1≤x≤3與x＞3的討論，將函數f（x）=|x-3|-|x+1|中的絕對值符號去掉，求得該函數的值域，從而可得答案．

解答：解：∵f（x）=|x-3|-|x+1|，
∴當x＜-1時，x-3＜-4＜0，x+1＜0，
f（x）=-（x-3）-[-（x+1）]=3-x+x+1=4；
當-1≤x≤3時，x-3≤0，x+1≥0，
f（x）=-（x-3）-（x+1）=-x+3-x-1=-2x+2；
∴f（x）在x=-1時取最大值f（x）_max=-2×（-1）+2=4；在x=3時取最小值f（x）_min=-2×3+2=-4；
當x＞3時，x-3＞0，x+1＞0，
f（x）=（x-3）-（x+1）=-4；
終上所述：f（x）=

4，x＜-1 -2x+2，-1≤x≤3 -4，x＞3

．
其值域是[-4，4]，即最小值是-4，最大值是4．
故選：C．

點評：本題考查帶絕對值的函數，通過對x＜-1，當-1≤x≤3與x＞3的討論將函數f（x）=|x-3|-|x+1|中的絕對值符號去掉是關鍵，也是難點，屬于中檔題．