Question

已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=

3

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）把已知兩式平方相加，結合兩角差的余弦公式可得；（2）兩式平方相減可得cos2α+2cos（α+β）+cos2β=2，再利用整體角α+β，α-β表示式子中的角應用公式可得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，把（1）的結果代入即可．

解答：解：（1）因為sinα+sinβ=1  ①cosα+cosβ=

3

 ②
兩式平方相加可得：得sin²α+2sinαsinβ+sin²β+cos²α+2sinαsinβ+cos²β=4 （3分）
即2+2cos（α-β）=4，所以cos（α-β）=1；（6分）
（2）②²-①²得cos²α-sin²α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos²β-sin²β=2
即cos2α+2cos（α+β）+cos2β=2  （8分）
故cos[（α+β）+（α-β）]+2cos（α+β）+cos[（α+β）-（α-β）]=2  （12分）
化簡得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，
由（1）得cos(α+β)=

1

2

．（14分）

點評：本題為三角函數(shù)公式的綜合應用，熟記公式并能利用整體角的思想是解決問題的關鍵，屬中檔題．