Question

已知函數f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．有以下命題：
①x=±1處的切線斜率均為-1；　
②f（x）的極值點有且僅有一個；
③f（x）的最大值與最小值之和等于零．
則下列選項正確的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：先根據已知函數f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．欲求切線斜率，只須先利用導數求出在x=±1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而判斷①，由此得到①是真命題；對函數進行求導數運算，可得在區間[-2，2]上導數有兩個零點，函數也就有兩個極值點，故②為假命題；根據函數為奇函數，結合奇函數的圖象與性質可得f（x）的最大值與最小值之和為零，故③為真命題．由此可得正確答案．

解答：解：∵函數f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．
對函數求導數，得f'（x）=3x²-4，
因此曲線f（x）=x³-4x，在x=±1處的切線斜率等于3（±1）²-4=-1，
故①是真命題；
對于②，因為f'（x）=3x²-4=3（x+

2

3

3

）（x-

2

3

3

），f'（x）在區間[-2，2]上有兩個零點，
故f（x）的極值點有兩個，得②為假命題；
對于③，因為函數f（x）=x³-4x是奇函數，所以若它在[-2，2]上的最大值為f（m）=M，則它在[-2，2]上的最小值必為f（-m）=-M，
所以f（x）的最大值與最小值之和為零，③是真命題．
則下列選項正確的是：①③．
故選B．

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了導數的幾何意義、用導數切線的斜率和函數極值的求法等知識點，屬于基礎題．