Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱?對任意x₁，x₂∈[0，]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f；
（Ⅱ）證明f（x）是周期函數；
（Ⅲ）記a_n=f（2n+），求．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過對x₁、x₂合理的賦值以及配湊，構造所求的結論．
（2）偶函數⇒f（-x）=f（x）；關于直線x=a對稱⇒f（2a-x）=f（x）．
解答：（Ⅰ）解：因為對x₁，x₂∈[0，]，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），所以

∵

f（1）=a＞0，（3分）
∴，（6分）

（Ⅱ）證明：依題設y=f（x）關于直線x=1對稱，
故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R
又由f（x）是偶函數知f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（x）=f（x-2），x∈R，
得f（x）=f（x+2），x∈R
這表明f（x）是R上的周期函數，且2是它的一個周期．（10分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]
∵f（）=f（n×）=f（）=f（）ⁿ
∴，（12分）
∵f（x）的一個周期是2
∴f（2n+）=f（），因此a_n=
∴（lna_n）=．（14分）
點評：本題考查了抽象函數和函數性質的綜合應用．抽象函數往往是通過對自變量合理的賦值來解決問題；函數周期性、奇偶性、對稱性三者之間具有知二求一的關系．