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(2012•青州市模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ) 若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的斜率是1,問:m在什么范圍取值時,對于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2[
m2
+f′(x)]在區(qū)間(t,3)上總存在極值?
分析:(1)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導函數(shù)f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間),
(2)點(2,f(2))處的切線的斜率為1,即f'(2)=1,可求a值,代入得g(x)的解析式,由t∈[1,2],且g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)可知:
g′(1)<0
g′(2)<0
g′(3)>0
,于是可求m的范圍.
解答:解:(Ⅰ) f′(x)=
a(1-x)
x
(x>0)

當a>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],減區(qū)間為[1,+∞);
(Ⅱ) f′(2)=-
a
2
=1
得a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3
g(x)=x3+(
m
2
+2)x2-2x

∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2
∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),且g′(0)=-2
g′(t)<0
g′(3)>0

由題意知:對于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
所以有:
g′(1)<0
g′(2)<0
g′(3)>0
,∴-
37
3
<m<-9

∴當m∈(-
37
3
,-9)內(nèi)取值時對于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]在區(qū)間(t,3)上總存在極值.
點評:本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程,考查求導公式的掌握情況,含參數(shù)的數(shù)學問題的處理,構造函數(shù)求解證明不等式問題,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•青州市模擬)給出下列六個命題:
①函數(shù)f(x)=lnx-2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點;
②若f′(x0)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值;
③若m≥-1,則函數(shù)y=log
1
2
(x2-2x-m)
的值域為R;
④“a=1”是“函數(shù)f(x)=
a-ex
1+aex
在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
⑤函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l-x)的圖象關于y軸對稱;
⑥滿足條件AC=
3
,∠B=60°
,AB=1的三角形△ABC有兩個.
其中正確命題的個數(shù)是
①③④⑤
①③④⑤

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•青州市模擬)某公司向市場投放三種新型產(chǎn)品,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)第一種產(chǎn)品受歡迎的概率為
4
5
,第二、第三種產(chǎn)品受歡迎的概率分別為p,q(p>q),且不同種產(chǎn)品是否受歡迎相互獨立.記ξ為公司向市場投放三種新型產(chǎn)品受歡迎的數(shù)量,其分布列為
ξ 0 1 2 3
p
2
45
a d
8
45
(1)求該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率;
(2)求p,q的值;
(3)求數(shù)學期望Eξ.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•青州市模擬)在一次演講比賽中,10位評委對一名選手打分的莖葉圖如圖所示,若去掉一個最高分和一個最低分,得到一組數(shù)據(jù)xi(1≤i≤8),在如圖所示的程序框圖中,
.
x
是這8個數(shù)據(jù)中的平均數(shù),則輸出的S2的值為
15
15

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•青州市模擬)若復數(shù)
a-3i1+2i
(a∈R,i為虛數(shù)單位)
是純虛數(shù),則實數(shù)a=
6
6

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同步練習冊答案
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