Question

利用單調性定義證明函數f(x)=x+

4

x

在[1，2]上的單調性并求其最值．

Answer 1

分析：利用函數單調性的定義，設1≤x₁＜x₂≤2，利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，進而證明函數f（x）為單調減函數，再利用單調性求函數最值即可

解答：解：設1≤x₁＜x₂≤2，
則f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=x1-x2+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1- 4 x1x2 )=(x1-x2) x1x2-4 x1x2

∵

1≤x1＜x2≤2

，∴

x1-x2＜0，x1x2-4＜0

，x₁x₂＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f(x)=x+

4

x

在[1，2]上為減函數
∴當x=2時，f（x）取得最小值4，當x=1時，f（x）取得最大值5．

點評：本題主要考查了函數單調性的定義，利用定義證明函數的單調性的方法和步驟，作差法比較大小，代數變形能力，屬基礎題