Question

如圖，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC=AB=DE，∠DAC=90°，F是CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取CE的中點M，連接MF，MB，在△CDE中，MF∥DE，MF=，又因為AB⊥面ACD，DE⊥面ACD．所以AB∥DE，且AB=，由此能夠證明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）AC=AD，F是CD中點，所以AF⊥CD，又DE⊥面ACD，所以DE⊥AF，CD∩DE=D，AF⊥平面CDE，由此能夠證明平面BCE⊥平面CDE．
解答：解：（Ⅰ）取CE的中點M，連接MF，MB，
在△CDE中，MF∥DE，MF=，
又因為AB⊥面ACD，DE⊥面ACD．
所以AB∥DE，且AB=，
∴MF∥AB，且MF=AB，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
AF∥BM，AF?面BCE，所以BM?面BCE，
故AF∥平面BCE．…（6分）
（Ⅱ）AC=AD，F是CD中點，所以AF⊥CD，
又DE⊥面ACD，所以DE⊥AF，CD∩DE=D，
AF⊥平面CDE，
由（Ⅰ）知AF∥BM，BM⊥平面CDE，
BM?面BCE，
故平面BCE⊥平面CDE．…（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．