Question

有兩個函數f（x）=asin（kx+

π

3

），g（x）=btan（kx-

π

3

），k＞0，它們的周期之和為

3π

2

，且f（

π

2

）=g（

π

2

），f（

π

4

）=-

3

g（

π

4

）+1
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由題意及函數解析式和函數周期之和，求出k的值，再利用已知等式條件建立a，b的方程，解出結果，求出函數的解析式
（2）根據正弦函數的單調區間，寫出角對應的范圍，求解即可找出其函數單調區間．

解答：解：（1）由條件得

2π

k

+

π

k

=

3

2

π，∴k=2．
由f（

π

2

）=g（

π

2

），得a=2b①
由f（

π

4

）=-

3

g（

π

4

）+1，得a=2-2b②
∴由①②解得a=1，b=

1

2

．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

）．
（2）當-

π

2

+2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ，k∈Z時，f（x）單調遞增．
單調增區間為〔kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

〕（k∈Z）；單調減區間為〔kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

〕（k∈Z）

點評：本題考查了三角函數的周期求法，及利用方程解未知量的方程思想，還考查了三角函數單調性，本題解題的關鍵是構造關于變量a，b的方程，本題是一個中檔題目．