Question

設f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）當a=1，若?x∈R，不等式f（x-1）+f（2x）≥1-2m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=5，不等式f（x）≤3等價于|x-5|≤3，確定絕對值，可解不等式；
（Ⅱ）?x∈R，不等式f（x-1）+f（2x）≥1-2m成立，等價于左邊的最小值≥1-2m，由此可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=5，不等式f（x）≤3等價于|x-5|≤3，
即-3≤x-5≤3，∴2≤x≤8，
∴不等式的解集為{x|2≤x≤8}；
（Ⅱ）當a=1，f（x）=|x-1|，
令g（x）=f（x-1）+f（2x）=|x-2|+|2x-1|=

-3x+3，x≤ 1 2 x+1， 1 2 ＜x＜2 3x-3，x≥2

，
∴x=

1

2

時，g（x）取得最小值

3

2

．
∵?x∈R，不等式f（x-1）+f（2x）≥1-2m成立，
∴

3

2

≥1-2m成立，
∴m≥-

1

4

，
∴m的取值范圍為[-

1

4

，+∞）．

點評：本題考查解不等式，考查函數的最值，考查學生的計算能力，正確求函數的最值是關鍵．