Question

設g(x)=3-log2x，f(x)=

2g(x)-1+x-3，x＞g(x) 24-g(x)-x2，x≤g(x)

，則f（x）的值域是

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：把g（x）代入f（x）根據分段函數，分段求出f（x）各自的值域，從而進行求解；

解答：解：因為g(x)=3-log2x，f(x)=

2g(x)-1+x-3，x＞g(x) 24-g(x)-x2，x≤g(x)

，（x＞0）
若x＞g（x）=3-log₂x，解得x＞2，
f（x）=22-log23+x-3=

4

2log2x

+x-3=

4

x

+x-3
因為x＞2，所以f（x）＞2

4

-3=1，
若x≤g（x），即0＜x≤2，
f（x）=2^4-g（x）-x²=2x-x²=-（x-1）²+1
f（x）在1＜x＜2上為減函數，f（x）在0＜x≤1上為增函數，
所以0=f（0）＜f（x）≤f（1）=1，
綜上f（x）的值域為f（x）＞0，
所以f（x）的值域是（0，+∞）；

點評：此題主要考查分段函數的性質及其應用，求分段函數的定義域，需要進行分類討論，此題計算比較復雜，是一道基礎題；