Question

已知x²-20x+64≤0的解集為A，當(dāng)x∈A時(shí)f(x)=log2

x

8

•lo

g

2

x

4

的值域?yàn)锽．
（1）求集合B；
（2）當(dāng)x∈B時(shí)不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先化簡(jiǎn)集合A，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)函數(shù)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，求出集合B；
（2）分離參數(shù)，將當(dāng)x∈B時(shí)不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥g（x）_max即可．

解答：解：（1）A={x|4≤x≤16}
f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=（log₂x）²-5log₂x+6
令t=log₂x，則t∈[2，4]，y=t2-5t+6=(t-

5

2

)2-

1

4

∵t∈[2，4]，
∴t=

5

2

時(shí)，y取得最小值-

1

4

，t=4時(shí)，y取得最大值2
∴B=[-

1

4

，2]
（2）分離參數(shù)可得：a≥-(

1

4

)x-(

1

2

)x
設(shè)g(x)=-(

1

4

)x-(

1

2

)x
當(dāng)x∈B時(shí)不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，可轉(zhuǎn)化為a≥g（x）_max
∵g(x)=-(

1

4

)x-(

1

2

)x在[-

1

4

，2]上遞增
∴g(x)max=g(2)=-

5

16

∴a≥-

5

16

點(diǎn)評(píng)：本題以集合為載體，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，利用分離參數(shù)法解決恒成立問題．