Question

某大學的研究生入學考試有50人參加，其中英語與政治成績采用5分制，設政治成績為x，英語成績為y，結果如下表：

（Ⅰ）求a+b+c的值；
（Ⅱ）求政治成績為3分且英語成績不低于3分的概率；
（Ⅲ）若x的數學期望為

72

25

，y的數學期望為

167

50

，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）由表格可以看出除去a，b，c以外共有40人，而題目所給的總人數是50，得到a+b+c的值．
（2）從表中可以看出，“政治成績為（3分）且英語成績不低于（3分）”的考生人數為9+3，用這個數字除以總數，得到要求的概率．
（3）數出表格中政治和英語在各個分數段的人數，算出概率，表示出期望，根據所給的期望的值列出方程，再用上前面做出的三個數的和，解出結果．

解答：解：（Ⅰ）考生總人數是50，
因此表中標出的總人數也應是50，
∴a+b+c+40=50，∴a+b=50-40=10；
（Ⅱ）從表中可以看出，“政治成績為（3分）且英語成績不低于（3分）”的考生人數為9+3=12人，
∴其概率為

12

50

=0.24．
（Ⅲ）由已知1×

5

50

+2×

b+4

50

+3×

15

50

+4×

15

50

+5×

a+8

50

=

167

50

，
1×

5

50

+2×

7+c

50

+3×

15

50

+4×

7+a+b

50

+5×

5

50

=

72

25

解得：a=1，b=2，c=7．

點評：概率與統計的綜合題，自從2005年走進新高考試題中，就以嶄新的姿態，在高考中占有極其重要的地位，每年出現一道大題．除了2007年考查的是統計中的線性回歸方程外，有三年考查的是隨機變量的分布列和數學期望問題．這是概率與統計大題考查的主陣地，預計還有可能與函數、導數、方程、數列以及不等式等知識綜合考查．