Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF（其中O為坐標原點）的面積之比為3：1，則點A的坐標為

（2，±2

2

）．

．

Answer 1

分析：設A（

1

4

t²，t），根據拋物線的定義算出|AM|=

1

4

t²+1，而△AMF與△AOF的高相等，故面積比等于|AM|：|OF|=3，由此建立關于t的方程，解之得t=±2

2

，即可得到點A的坐標．

解答：解：拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
準線l方程為x=-1．設A（

1

4

t²，t），則
根據拋物線的定義，得|AM|=

1

4

t²+1，
∵△AMF與△AOF（其中O為坐標原點）的面積之比為3：1，
∴|AM|：|OF|=

1

4

t²+1=3，可得t²=8，解之得t=±2

2

∴點A的坐標為（2，±2

2

）．
故答案為：（2，±2

2

）．

點評：本題給出拋物線中的三角形面積比，求點的坐標，著重考查了拋物線的定義與標準方程的知識，屬于中檔題．