Question

若經過點P（0，2）且以

d

=(1，a)為方向向量的直線l與雙曲線3x²-y²=1相交于不同兩點A、B，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，直線l的斜率為 a，故直線l的方程為 y-2=a（x-0），代入雙曲線3x²-y²=1化簡可得
（3-a²）x²-4ax-5=0，由題意可得 3-a²≠0，且 60-4a²＞0，解不等式求得實數a的取值范圍．

解答：解：由題意可得，直線l的斜率為 a，故直線l的方程為  y-2=a（x-0），代入雙曲線3x²-y²=1化簡可得
（3-a²）x²-4ax-5=0，由題意可得：3-a²≠0，且 60-4a²＞0．
即  a≠±

3

，且-

15

＜a＜

15

，故實數a的取值范圍是 (-

15

，-

3

)∪(-

3

，

3

)∪(

3

，

15

)，
故答案為：(-

15

，-

3

)∪(-

3

，

3

)∪(

3

，

15

)．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，得到 3-a²≠0，且 60-4a²＞0，是解題的關鍵．