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（1）已知Z是復數，求證：①|Z|2=Z•
.
Z
；②
.
Z-
.
Z
=
.
Z
-Z；
（2）已知z1，z2是復數，若|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|，求證：|z1|，|z2|中至少有一個值為1．
（1）設 z=a+bi，a、b∈R，
∵|Z|2=a2+b2，Z•
.
Z
=9a+bi）（a-bi）=a2+b2，∴①|Z|2=Z•
.
Z
 成立．
∵
.
Z-
.
Z
=
.
(a+bi)-(a-bi)
=-2bi，
.
Z
-Z=（a-bi）-（a+bi）=-2bi，∴②
.
Z-
.
Z
=
.
Z
-Z成立．
（2）∵|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|，∴|z1-
.
z2
|2 =|1-z1z2|2 ．
∴（z1-
.
z2
） （
.
z1-
.
z2
 ）=（1-z1z2）（1-
.
1-z1z2
 ）．
∴（z1-
.
z2
）（
.
z1
-z2）=（ 1-z1z2）（1-
.
z1
.
z2
）．
化簡后得z1
.
z1
+z2
.
z2
=1+z1z2
.
z1
.
z2
．
∴|z1|2+|z2|2=1+|z1|2•|z2|2．∴（|z1|2-1）（|z2|2-1）=0．
∴|z1|2=1，或|z2|2=1．∴|z1|，|z2|中至少有一個為1．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知z是復數，
.
z
+2
2-i
=1+i，則z等于（　�。�

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（1）已知Z是復數，求證：①|Z|2=Z•
.
Z
；②
.
Z-
.
Z
=
.
Z
-Z；
（2）已知z1，z2是復數，若|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|，求證：|z1|，|z2|中至少有一個值為1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知z是復數，z+3i、
z3-i
均為實數（i為虛數單位），
（1）求復數z；
（2）求一個以z為根的實系數一元二次方程．

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科目：高中數學 來源：2007-2008學年江蘇省南通市啟東中學高二（下）期中數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

（1）已知Z是復數，求證：①；②；
（2）已知z1，z2是復數，若|z1-|=|1-z1z2|，求證：|z1|，|z2|中至少有一個值為1．

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