Question

設數列{a_n}的前n項的和為S_n，滿足
（Ⅰ）求首項a₁
（Ⅱ）令，求證{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）設，數列{c_n}的前n項的和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）n=1代入，即可求a₁；
（Ⅱ）再寫一式，兩式相減，即可證明{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）寫出數列的通項，利用裂項法求和，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：當n=1時，3a₁=3S₁=4a₁-4+2，∴a₁=2   …（2分）
（Ⅱ）證明：由  ①
則    ②
將①和②相減得3a_n=3S_n-3S_n-1=4（a_n-a_n-1）-（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）
整理得a_n=4a_n-1+2ⁿ，…（4分）
故==4（n≥2）
因而數列{b_n}是首項為b₁=a₁+2=4，公比為4的等比數列 …（6分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知b_n=4ⁿ，
∵，∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，…（7分）
將a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得=2（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1）
∴=-       …（12分）
∴T_n=-+…+-=1-＜1 …（14分）
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查裂項法求數列的和，確定數列的通項是關鍵．