Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁，F₂，左頂點為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P是橢圓上的任意一點，求的取值范圍；
（3）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N (均不是長軸的頂點)，AH⊥MN垂足為H且，求證：直線l恒過定點．

Answer 1

解：(1)由題意得，。 
(2)設，，
，
由橢圓方程得，二次函數開口向上，對稱軸x=-6＜-2，
當x₀=-2時，取最小值0；當x₀=2時， 取最大值12，
∴的取值范圍是[0，12]。
(3)由，得，
由△＞0，得， ※
設，則，，
，
∴，
即，
∴，∴或均適合※，
當時，直線過A，舍去，故；
當時，直線過定點。