Question

【題目】已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，且的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】(i)當 時， ，令 ，解得 ，函數(shù) 有兩個零點，舍去． (ii)當 時， ，令 ，解得 或 ．①當 時， ，當 或x>0時，f′(x)<0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當 時， ，此時函數(shù) 單調(diào)遞增．∴ 是函數(shù)的極小值點， 是函數(shù)的極大值點．∵函數(shù) 存在唯一的零點 ，且 ，則： ，即： ，可得 ．

②當 時， ，當 或 時， ，此時函數(shù) 單調(diào)遞增；當 時，f′(x)<0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．∴ 是函數(shù)的極小值點， 是函數(shù)的極大值點．不滿足函數(shù) 存在唯一的零點 ，且 ，綜上可得：實數(shù) 的取值范圍是 ．故選：C．

點睛: 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力.本題的解答方法是： (i)當時， ，令 ，解得，兩個解，舍去． (ii)當 時， ，令 ，解得或．對 分類討論：①當 時，由題意可得；②當時，推出極值點不滿足題意，推出結(jié)果即可．