Question

已知函數f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

處取得極值．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[

1

4

，2]上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求實數c的最小值．（參考數據e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

處取得極值，我們求出函數的導函數f′（x）的解析式，易得

f′(1)=2a+b+1=0 f′( 1 2 )=2a+4b+2=0

，解方程組，即可得到實數a，b的值；
（Ⅱ）函數f（x）在區間[

1

4

，2]上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，表示函數f（x）在區間[

1

4

，2]上的最小值小于等于c，根據（1）中函數的解析式，求出函數f（x）在區間[

1

4

，2]上的最小值，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）定義域為（0，+∞）f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

…（2分）
依題意得，

f′(1)=2a+b+1=0 f′( 1 2 )=2a+4b+2=0

，解得，

a=- 1 3 b=- 1 3

故所求a，b的值為a=b=-

1

3

…（5分）
（Ⅱ）在[

1

4

，2]上存在x₀，使不等式f（x₀）-c≤0成立，只需c≥[f（x₀）]_min
由（Ⅰ）知f′(x)=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＜0，故函數f（x）在[

1

4

，

1

2

]上單調遞減，
當x∈[

1

2

，1]時，f′（x）＞0，故函數f（x）在[

1

2

，1]上單調遞增，
當x∈[1，2]時，f′（x）＜0，故函數f（x）在[

1

4

，

1

2

]上單調遞減…（7分）
∴f(

1

2

)=

1

3

-ln2是f（x）在[

1

4

，2]上的極小值，且函數f（x）的最小值必是f(

1

2

)，f(2)兩者中較小的…（8分）
而f(2)=-

7

6

+ln2，f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4=

1

2

ln

e3

16

∵e³≈20.08＞16，f(

1

2

)-f(2)＞0∴[f(x)]min=f(2)=-

7

6

+ln2…（9分）∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+ln2
所以，實數c的最小值為-

7

6

+ln2．…（10分）

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數求閉區間上的函數的最值，其中根據已知中函數f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

處取得極值，構造關于a，b的方程，確定出函數f（x）的解析式，是解答本題的關鍵．