Question

已知直線l:x=m(m＜-2)與x軸交于A點,動圓M與直線l相切,并且與圓O:x²+y²=4相外切.

(1)求動圓的圓心M的軌跡方程;

(2)若過原點且傾斜角為的直線與曲線C交于M、N兩點,問是否存在以MN為直徑的圓經過點A?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)設動圓圓心M(x,y),則=2+x-m,

得y²=(4-2m)x+(2-m)²(m＜-2),

即為曲線C的方程.

(2)直線MN的方程為y=x,代入曲線C的方程可得

3x²-2(2-m)x-(2-m)²=0,

顯然Δ＞0.

假設存在這樣的M、N.

設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

則

從而y₁y₂=x₁·x₂=3x₁x₂.

若以MN為直徑的圓過點A,則AM⊥AN.

∴k_AM·k_AN=-1,

4x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²=0.

∴-(2-m)²-m·(2-m)+m²=0,

即m²+12m-16=0.

解得m₁=-6-2,m₂=-6+2(舍).

因此,存在m=-6-2適合題設.