Question

本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
設矩陣 （其中a＞0，b＞0）．
（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（II）若曲線C：x²+y²=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C’：，求a，b的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為．
（I）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關系；
（II）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
設不等式|2x-1|＜1的解集為M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）：（I）直接根據求逆矩陣的公式求解，即M=，則代入a，b即可求解
（II）設出曲線C：x²+y²=1任意一點為（x，y）經矩陣M所對應的線性變換作用下得到的點為（x，y），即可根據矩陣乘法M（x，y）=（x，y）得到關于x，y與x，y間的關系，即將之代入得到的含x，y的方程應與x²+y²=1相同，根據待定系數即可運算
（2）：（I）將P的極坐標（4，）根據公式化為直角坐標坐標為（0，4），則根據直角坐標系下點與直線的位置關系判斷即可
（II）根據曲線C的參數方程為，設出曲線C上任一點到直線l的距離為d，則根據點到直線的距離公式知d=，即d=，而2sin（）∈[-2，2]，則d的最小值為
（3）：（I）直接根據絕對值不等式的意義（（|a-b|表示a-b與原點的距離，也表示a與b之間的距離）知：-1＜2x-1＜1即可求解
（II）要比較ab+1與a+b的大小，只需比較（ab+1）-（a+b）與0的大小，而（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）再根據a，b∈M即可得到（a-1）（b-1）的符號，即可求解．
解答：（1）解：（I）∵
∴
將a=2，b=3代入即得：
（II）設出曲線C：x²+y²=1任意一點為（x，y）經矩陣M所對應的線性變換作用下得到的點為（x，y），
∵M（x，y）=（x，y）
∴
將之代入得：
即
∵a＞0，b＞0
∴
（2）（I）解∵P的極坐標為（4，），
∴P的直角坐標為（0，4）
∵直線l的方程為x-y+4=0
∴（0，4）在直線l上
（II）∵曲線C的參數方程為，直線l的方程為x-y+4=0
設曲線C的到直線l的距離為d
則d==
∵2sin（）∈[-2，2]
∴d的最小值為
（3）（I）解：∵|2x-1|＜1
∴-1＜2x-1＜1
即0＜x＜1
即M為{x|0＜x＜1}
（II∵a，b∈M
∴a-1＜0．b-1＜0
∴（b-1）（a-1）＞0
∴（ab+1）-（a+b）=a（b-1）+（1-b）=（b-1）（a-1）＞0
即（ab+1）＞（a+b）
點評：本題考查了逆變換與逆矩陣，以及待定系數法求解a，b的方法，橢圓的參數方程，絕對值不等式的解法，作差法比較大小的相關知識，屬于基礎題．