Question

設函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

（1）求φ；
（2）求函數y=f（x）的單調增區間；
（3）試說明函數y=f（x）的圖象可由函數y=sinx的圖象如何變換而得到？

Answer 1

分析：（1）根據正弦函數圖象的對稱軸方程，得函數f（x）圖象的對稱軸方程為2x+φ=

π

2

+kπ（k∈Z）．再將x=

π

8

代入得到關于φ的等式，結合-π＜φ＜0可得φ的值；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-

3π

4

），由正弦函數的單調區間公式，建立關于x的不等式，解之即可得到y=f（x）的單調增區間．
（3）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．

解答：解：（1）∵x=

π

8

是函數圖象的一條對稱軸，
∴sin（2×

π

8

+φ）=±1，
∴

π

4

+φ=

π

2

+kπ（k∈Z），
∵-π＜φ＜0，∴φ=-

3

4

π．
（2）由（1）知，∴φ=-

3

4

π，
∴f(x)=sin(2x-

3π

4

)，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

3π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z
故函數函數f（x）的單調遞增區間是{x|kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z}．
（3）把函數y=sinx的圖象向右平移

3π

4

個單位，
再把圖象上各點的橫坐標變為原來的

1

2

倍，即可可得 f（x）=sin（2x-

3π

4

）的圖象．

點評：本題給出三角函數圖象的一條對稱軸，求函數的解析式并求單調增區間．著重考查了三角函數的圖象與性質和函數的單調性以圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．