Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)均為2，P是BC的中點(diǎn)，側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，且側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角為60°，
（Ⅰ）證明：直線A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）求直線AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）連接A1B交AB1于Q， 則Q為A1B中點(diǎn)，連結(jié)PQ， ∵P是BC的中點(diǎn)， ∴PQ∥A1C， ∵PQ平面AB1P，A1C 平面AB1P， ∴A1C∥平面AB1P。 （Ⅱ）取中點(diǎn)M，連、AM， 則， ∵平面平面ABC， ∴平面平面， ∴平面， ∴為直線與平面所成的角，  在正中，邊長(zhǎng)為2，M是中點(diǎn)， ∴， ∵面平面ABC， ∴為與平面ABC所成的角，即， 在菱形中，邊長(zhǎng)為2， ，M是中點(diǎn)， ∴， ∴， 在中，，， 從而， ∴， ∴直線與平面所成角的正弦值為。