Question

已知圓O1：x2+6x+y2-1=0，圓O2：x2-6x+y2-5=0，點P滿足kPO1•kPO2=2
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點Q（1，2）能否做直線AB與P的軌跡交于A、B兩點，并且使Q是AB的中點？如果存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），據題意，得，O₁（-3，0），O₂（3，0）由題意知

y

x+3

•

y

x-3

=2，整理得出點P的軌跡方程．
（2）假設直線AB存在，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=4．點A、B在動點P的軌跡上，A、B兩點的坐標滿足雙曲線的方程，代入方程后作差即可求出直線AB的斜率，然后得出AB的方程，最后將直線AB的方程與雙曲線方程聯立，看此方程組是否有解即可．

解答：解：（1）（5分）設P（x，y），據題意，得，O₁（-3，0），O₂（3，0）…（1分）
∵kPO1•kPO2=2，
∴

y

x+3

•

y

x-3

=2…（3分）
整理得  

x2

9

-

y2

18

=1（x≠±3）…（5分）（沒有范圍扣1分）
（2）（7分）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若存在，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=4…（1分）
∵點A、B在動點P的軌跡上，
∴

2 x 2 1 - y 2 1 =18 2 x 2 2 - y 2 2 =18

…（2分）
∴2(

x

2 2

-

x

2 1

)=

y

2 2

-

y

2 1

，
∴

y2-y1

x2-x1

=

2(x1+x2)

(y1+y2)

=1…（4分）
此時k_AB=1，
∴AB：y=x+1…（5分）

y=x+1 x2 9 - y2 18 =1

整理得x²-2x-19=0此時△＞0，
∴這樣的直線存在，它的方程為y=x+1…（7分）（沒有判斷△，扣1分）

點評：本題是平面向量與圓錐曲線相綜合的問題，主要考查平面向量基本運算、雙曲線求法以及中點弦問題，考查解析幾何“設而不求”的技巧．解析幾何板塊在歷屆高考中必有一個解答題，而且在以往高考試卷中多以壓軸題形態出現；在近年的一些省市高考卷中，解析幾何類題目是以中檔題形態出現，在備戰高考時應留意解析幾何這一新動態．