Question

已知過函數f（x）=的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為－3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范圍，使不等式f（x）≤A－1987對于x∈[－1，4]恒成立；
令．是否存在一個實數t，使得當時，g（x）有最大值1？

Answer 1

（1）a=－3，b=－1；（2）存在一個a=，使g（x）在上有最大值1．

（1）=
依題意得k==3+2a=－3， ∴a=－3
，把B（1，b）代入得b=
∴a=－3，b=－1
（2）令=3x²－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=2³－3×2²＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987對于x∈[－1，4]恒成立，則f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004．
已知g（x）=－
∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x²＜0，
當t＞3時，t－3x²＞0， ∴g（x）在上為增函數，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合題意,舍去）
當0≤t≤3時,
令=0,得x=
列表如下:

x	（0, ）
	＋	0	－
g（x）	↗	極大值	↘

g（x）在x=處取最大值－＋t=1
∴t==＜3
∴x=＜1
③當t＜0時，＜0，∴g（x）在上為減函數，
∴g（x）在上為增函數，
∴存在一個a=，使g（x）在上有最大值1．